单板滑雪轨Bet365 - Online Sports Betting道模型设计

2024-09-20 15:50:28

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　　1202高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的线所属学校：**理工大学参赛队员（打印并签名）：1.朱浩2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模指导组日期：2012年8月29日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：单板滑雪场场地设计问题摘要单板滑雪(Snowboard)（又称滑板滑雪）源于20世纪60年代中期的美国，其产生与冲浪运动有关。舍曼-波潘1965年把两个滑雪板绑在一起，偶然中就创造了两脚踩踏在一整块板上的新“滑雪板”，单板滑雪又称冬季的冲浪运动，单板3滑雪选手用一个滑雪板而不是一双滑雪板，利用身体和双脚来控制方向。本文要建立一个实际的滑雪道最优模型，不仅使滑雪者有长的垂直运动距离，还要使滑雪者能在空中做更多的动作。实际问题中，影响滑雪者能腾空高度并完成更多复杂的技巧动作的因素有很多，包括滑雪者自身的技术，身体条件、滑板质量等，本文主要分析滑雪者的运动状态及其所受的摩擦力大小，采用物理学模型分析，牛顿第二定律及微积分来建立模型并设计出最优折中方案。在传统场地的设计中存在一定的缺陷，比如不能使滑雪者的能量得到充分利用等，针对这些问题,模型首先采用以一个断面为研究对象，确定其上升的最大垂直高度与滑雪道半径的函数关系，得出只有当半径为零时其垂直高度最大，这显然是荒诞无用。因此我们假定出其半径在一个合适范围内取最小值即可，以尽量减少运动员的动能损失，从而保证足够大的腾空高度和缓冲地带长度以调整运动员的姿势来保持平衡。根据资料显示，滑雪者如果想要在空中做出不同的动作，不仅仅需要有超高的技术速度便更是其中起决定性的因素之一。本文通过研究腾空高度的影响因素，运动员的水平加速距离和完成单次动作的距离，分析摩擦力及滑雪者运动状态，保证其能有最好的表演效果，最后经过调查资料和数学4建模计算出滑道垂直半径3米，水平加速道宽15米，滑道长度161.42米，此时的滑道比较适合运动员进行一系列的动作衔接。关键字：半圆柱滑雪道垂直距离滑道长度轨道设计物理模型微积分1.1问题的背景单板滑雪(Snowboard)（又称滑板滑雪）源于20世纪60年代中期的美国，其产生与冲浪运动有关。舍曼-波潘1965年把两个滑雪板绑在一起，偶然中就创造了两脚踩踏在一整块板上的新“滑雪板”，单板滑雪又称冬季的冲浪运动，单板滑雪选手用一个滑雪板而不是一双滑雪板，利用身体和双脚来控制方向。半圆池场地为半圆滑道，一般长120米，宽15米，深3.5米，平均坡度18度。滑板稍软，较宽，靴底较厚。比赛时运动员在音乐伴奏下在半圆形形滑道内边滑行边利用滑道做各种旋转和跳跃动作，一般为5-8个造型，五名裁判员根据完成的动作难度和效果评分，每人最高分不超过10分，五个得分之和为该选手本轮比赛得分。比赛共有两轮预选赛，首轮预选赛前六名选手直接晋级决赛。其余选手参加第5二轮预选赛，前六名选手也获得决赛权。最后12名决赛选手进行两轮比赛，根据两轮决赛中的最好成绩排定最后的名次。主要动作有跃起抓板、跃起非抓板、倒立、跃起倒立、旋转等。其场地如图表一：图表11.2问题的叙述单板滑雪场形状大多为U形的或者半圆形内侧面的，我们采用时下最流行的U形滑雪道进行分析，假设半管形滑雪道的设计会影响到滑雪者的垂直距离，其中垂直距离是指滑雪者能达到的垂直于滑雪道边缘的最高距离，垂直距离越长，滞空时间就越长，可使得滑雪者能在空中做更多的动作。根据题目的叙述，我们将问题分为三部分进行作答：一、设计滑雪道的形状，使滑雪者的垂直距离达到最高；二、修改滑雪道的形状，使滑雪者能在空中做出更多的动作；三、综合以上要求，设计出一种最优的方案。2.1运动状态的分析本问题的运动状态事实上为一个经典的物理运动模型，将滑雪者视为滑块，此模型将变为简单的滑块在半圆形凹槽内运动的物理模型（如图表二），在不考虑一切摩擦的能量损6失，滑块上升的高度取决于其所获得的初速度，即初始能量E0，则所求得的高度就为hE0。但考虑到实际情况，滑雪道与人之间是存在摩擦力f 的， 并且随着速mg  度 v 的变化而变化，且与人的动作密切相关。另外，在运 动过程中，滑雪者自身还将产生一部分能量E 人，供其提升 速度和完成动作。   图表 2  2.2 对于腾空高度的分析  从理论上分析，尽量减少滑雪者与滑道之间的摩擦，就能 最大限度的增加滑雪者上升的垂直高度，姑其可将水平的轨 道去掉可使其上升高度得到很大提升。由滑雪者在滑道的运 动分析可知，在其从接触滑道下降到最低点的过程中，不仅 由自身重力可以提供加速度，还有滑雪者自身所产生的加速 度。运动过程中所受的阻力为摩擦力，因此如何减少摩擦力 所消耗的能量成为解决问题的关键所在。根据牛顿第二定律 和积分定理可知道，减小其轨道半径可使摩擦力减小，进而 使上升的垂直高度升高。 2.3 对于场地修改设计的分析  为使滑雪者在腾空过程中，要做出有跃起抓板、跃起非抓 板、倒立、跃起倒立、旋转等动作，则不仅要有垂直方向的 7 速度，还要有水平方向的速度，借此，滑雪者才能更为轻松 的做出各种各样的动作来。据此，我们将设计场地水平宽度 让其在轨道滑行过程中能弥补因摩擦力造成的速度亏损，保 证在其腾空时有祖足够的速度完成所需要的动作。在设计场 地长度时，通过计算出运动员每次动作所经历的长度从而算 出场地的总长度。由于此过长计算较为复杂，为了简化模型 结构，取此时摩擦力为一定值 mg。  三、符号说明   四、问题假设  假设一：不考虑风阻力  假设二：假设模型中运动员技术娴熟, 暂不考虑安全问题  假设三：滑雪者不会停留在槽上侧平台， 而是在冲出半管 向上滑行时只接触槽内侧边缘 假设四：忽略滑板的长度对 运动的影响  假设五：忽略环境条件影响、地理位置和气候等对滑雪者 的影响  假设六：在轨道中滑雪者的滑板永远和轨道接触，且滑动 摩擦系数恒定  五、模型建立与求解   5.1 问题一模型的建立与求解 8  首先我们根据半管的横截面示意图 4 对滑板运动员进行 受力分析, 滑雪者在曲线轨道上运动产生的向心力 F 向, 最 终受重力, 轨道支持力Fn和摩擦力f 三力合成产生沿运动方 向的合力F 合  :   图4 半管的横截面示意图   v2  m F向=r  F mgcos  F  向  n   f  Fn   F 合= f mgsin  将上方程组合力推导结果代入功率公式可知, 运动员的瞬 时功率 dE 等于合力与瞬时速度(也就是运动员的运动轨迹 微分) 的乘积:  mv2  dE F 合 ds  mgsin ds  mgcos ds  ds r  ds1  由动能公式 mv2 E和运动轨迹与速度方向关系公式 r 带入公式(2), 得: 9  d 2  ds dE   2 E  mg(sin   cos )  d d   1 2 E E0 mv0, 当 =时    22  解微分方程组得:  Ee2   E0e      e2  mg sin   cos  ds   s   由简化模型场地可知轨道截面为半圆形, 由  ds 和在任意时 刻 r’    0代入结果(4), 得到如下等式:  Ee  将  2    E0e   2  0     e2  mg sin   cos  rd ，   0    1212  mv E和mv0=E0 22 10  回代入该结果, 得  12  12mgr  mve mv0 e   1  2  1  2224  1  1  假设运动员脱离轨道瞬间的动能完全转化为重力势能, 即 mv2 mgh代入上式,  2  得：  2v0rh  2 e   1  2  1  2g4  1  其中 h 为腾空高度与场地高度之和, 由模型目标可知, 设 计模型的目的是使h 尽可能大。而由最终的表达式结果可知, 过渡滑道的半径r 越大, h 越小, 即 h 是关于r 的单调递减 函数, 因此, 想获得更高的腾空高度, 应在保证滑雪者能够 及时调整平衡的前提下尽量降低过渡滑道的半径。考虑最初 速度因素就显得尤为重要。根据相关研究，若想在比赛中获 得佳绩，运动员入场时的最初速度必须超过 11.06 米每秒。 若使的腾空高度最大，轨道半径应为3 米。  5.2 场地修改模型的建立与求解 5.2.1 模型的建立 宽 度确立：  要使运动员在空中尽量完成更多的动作，首先在上坡的过 程前必须有一个比较大的 11  初速度，而由于摩擦力的影响，运动员的初速度将会越来 越小，因此，在考虑场地设计时必须给运动员留一片用以速 度弥补的水平平台。按理论分析，运动员的水平加速宽度约 宽越好，考虑实际情况存在极限速度，运动员不可能无限加 速，经调查研究，运动员持续加速距离一般不超过 15 米， 据此，设计场地宽度W=15 米，重点研究研究场地长度。

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